Electron–positron annihilation into photons

Electron–positron annihilation into photons · Symbolica Gallery

%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20requires-python%20%3D%20%22%3E%3D3.13%22%0A%23%20dependencies%20%3D%20%5B%0A%23%20%20%20%20%20%22marimo%3D%3D0.24.0%22%2C%0A%23%20%5D%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.24.0%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(%0A%20%20%20%20width%3D%22medium%22%2C%0A%20%20%20%20app_title%3D%22Electron%E2%80%93positron%20annihilation%20into%20photons%22%2C%0A)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Electron%E2%80%93positron%20annihilation%20into%20two%20photons%0A%0A%20%20%20%20Generate%20both%20diagrams%20for%20%24e%5E-e%5E%2B%5Cto%5Cgamma%5Cgamma%24%2C%20retaining%20the%20electron%0A%20%20%20%20mass%20and%20their%20interference.%20Average%20the%20two%20incoming%20spins%20and%20sum%20the%0A%20%20%20%20photon%20polarizations.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20from%20symbolica%20import%20E%2C%20N%2C%20S%2C%20Symbol%2C%20get_citations%0A%20%20%20%20from%20symbolica%20import%20set_namespace%20as%20_set_namespace%0A%20%20%20%20from%20symbolica.community.tensor%20import%20TensorExpression%0A%20%20%20%20from%20symbolica.community.hepkit%20import%20Kinematics%2C%20Model%0A%0A%20%20%20%20_set_namespace(%22diphoton%22)%0A%20%20%20%20return%20E%2C%20Kinematics%2C%20Model%2C%20N%2C%20S%2C%20Symbol%2C%20get_citations%2C%20mo%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Process%20creation%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(Model)%3A%0A%20%20%20%20model%20%3D%20Model.standard_model()%0A%0A%20%20%20%20electron%20%3D%20model.particle(%22e-%22)%0A%20%20%20%20electron%0A%20%20%20%20return%20electron%2C%20model%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(model)%3A%0A%20%20%20%20process%20%3D%20model.process(%5B%22e-%22%2C%20%22e%2B%22%5D%2C%20%5B%22a%22%2C%20%22a%22%5D%2C%20vertex_allow%3D%5B%22V_98%22%5D)%0A%20%20%20%20process%0A%20%20%20%20return%20(process%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(process)%3A%0A%20%20%20%20amplitude%20%3D%20process.generate_amplitude()%0A%20%20%20%20amplitude%0A%20%20%20%20return%20(amplitude%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(amplitude)%3A%0A%20%20%20%20amplitude.squared()%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(amplitude)%3A%0A%20%20%20%20spin_summed%20%3D%20amplitude.squared().sum_spins(%5B0%2C%201%5D%2C%20average_initial%3DTrue)%0A%20%20%20%20spin_summed%0A%20%20%20%20return%20(spin_summed%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(Kinematics%2C%20N%2C%20electron)%3A%0A%20%20%20%20s%2C%20t%2C%20u%2C%20P%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Kinematics.s()%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Kinematics.t()%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Kinematics.u()%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Kinematics.external_momentum()%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20mass%2C%20charge%20%3D%20electron.mass%2C%20electron.electric_charge%0A%20%20%20%20kin%20%3D%20Kinematics.mandelstam(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5BP(0)%2C%20P(1)%2C%20P(2)%2C%20P(3)%5D%2C%20%5Bmass**2%2C%20mass**2%2C%20N(0)%2C%20N(0)%5D%2C%20%5Bs%2C%20t%2C%20u%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20P%2C%20charge%2C%20kin%2C%20mass%2C%20s%2C%20t%2C%20u%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20gauge%20%3D%20mo.ui.dropdown(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%22Covariant%22%2C%20%22Other%20photon%22%2C%20%22Incoming%20electron%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D%22Covariant%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Photon%20polarization%20reference%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5Bgauge%5D)%0A%20%20%20%20return%20(gauge%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(E%2C%20P%2C%20charge%2C%20gauge%2C%20kin%2C%20mass%2C%20s%2C%20spin_summed%2C%20t%2C%20u)%3A%0A%20%20%20%20_references%20%3D%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Covariant%22%3A%20(None%2C%20None)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Other%20photon%22%3A%20(P(3)%2C%20P(2))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Incoming%20electron%22%3A%20(P(0)%2C%20P(0))%2C%0A%20%20%20%20%7D%5Bgauge.value%5D%0A%20%20%20%20_scalar%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20spin_summed.sum_spins(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B2%2C%203%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20references%3D%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20position%3A%20reference%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20position%2C%20reference%20in%20zip((2%2C%203)%2C%20_references)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20reference%20is%20not%20None%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.expression()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.simplify_algebra(contract%3D%22dots%22%2C%20gamma%3DTrue%2C%20epsilon%3DTrue)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20assert%20_scalar.is_scalar%0A%20%20%20%20diphoton_squared%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20kin.apply(_scalar).to_expression().replace(s%2C%202%20*%20mass**2%20-%20t%20-%20u).together()%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_x%2C%20_y%20%3D%20t%20-%20mass**2%2C%20u%20-%20mass**2%0A%20%20%20%20_expected%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%202%0A%20%20%20%20%20%20%20%20*%20charge**4%0A%20%20%20%20%20%20%20%20*%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_x%20%2F%20_y%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20_y%20%2F%20_x%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%204%20*%20mass**2%20*%20s%20%2F%20(_x%20*%20_y)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%204%20*%20mass**4%20*%20s**2%20%2F%20(_x**2%20*%20_y**2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20assert%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20diphoton_squared%20-%20_expected.replace(s%2C%202%20*%20mass**2%20-%20t%20-%20u)%0A%20%20%20%20).together()%20%3D%3D%20E(%220%22)%0A%20%20%20%20return%20(diphoton_squared%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(diphoton_squared%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22**Massive%2C%20spin-averaged%20squared%20matrix%20element**%20%E2%80%94%20all%20three%20polarization%20choices%20give%20the%20same%20result.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20diphoton_squared%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Identical%20photons%20and%20angular%20acceptance%0A%0A%20%20%20%20Let%20%24c%3D%5Ccos%5Ctheta%24%20and%20accept%20events%20with%20%24%7Cc%7C%3CC%3C1%24.%20The%20labeled%20massless%0A%20%20%20%20angular%20density%20is%20%24%5Calpha%5E2(1%2Bc%5E2)%2F%5Bs(1-c%5E2)%5D%24.%20Integrating%20it%20over%20the%0A%20%20%20%20full%20sphere%20counts%20both%20photon%20assignments%3B%20the%20event%20rate%20includes%20%241%2F2!%24.%0A%20%20%20%20Equivalently%2C%20select%20the%20forward%20photon%20and%20integrate%20over%20%240%3Cc%3CC%24.%0A%0A%20%20%20%20%60Kinematics.flux%60%20and%20%60two_body_phase_space%60%20supply%20the%20flux%20and%20measure.%0A%20%20%20%20The%20angular%20antiderivatives%20below%20are%20checked%20by%20differentiation.%20If%20the%0A%20%20%20%20symbolic%20integration%20backend%20is%20unavailable%2C%20the%20notebook%20uses%20their%20known%0A%20%20%20%20closed%20forms.%20The%20massless%20result%2C%0A%20%20%20%20%24%5Csigma%3D2%5Cpi%5Calpha%5E2%5B2%5Coperatorname%7Batanh%7DC-C%5D%2Fs%24%2C%20also%20matches%0A%20%20%20%20%5BDELPHI's%20Born%20formula%2C%20Eq.%20(2)%5D(https%3A%2F%2Farxiv.org%2Fpdf%2Fhep-ex%2F0409058).%0A%20%20%20%20For%20a%20massive%20electron%2C%20%24%5Cbeta%3D%5Csqrt%7B1-4m_e%5E2%2Fs%7D%24%20is%20the%20incoming%20CM%20speed.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(E%2C%20Kinematics%2C%20P%2C%20S%2C%20Symbol%2C%20charge%2C%20diphoton_squared%2C%20mass%2C%20s%2C%20t%2C%20u)%3A%0A%20%20%20%20massless%20%3D%20diphoton_squared.replace(mass%2C%20E(%220%22))%0A%20%20%20%20assert%20(massless%20-%202%20*%20charge**4%20*%20(t%20%2F%20u%20%2B%20u%20%2F%20t)).together()%20%3D%3D%20E(%220%22)%0A%20%20%20%20cos_theta%2C%20alpha%2C%20cutoff%20%3D%20S(%22cos_theta%22%2C%20%22alpha%22%2C%20%22cutoff%22)%0A%20%20%20%20kin_massless%20%3D%20Kinematics.mandelstam(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5BP(0)%2C%20P(1)%2C%20P(2)%2C%20P(3)%5D%2C%20%5BE(%220%22)%5D%20*%204%2C%20%5Bs%2C%20t%2C%20u%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20angular%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20massless.replace(t%2C%20-s%20*%20(1%20-%20cos_theta)%20%2F%202)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.replace(u%2C%20-s%20*%20(1%20%2B%20cos_theta)%20%2F%202)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.replace(charge**4%2C%20(4%20*%20Symbol.PI%20*%20alpha)%20**%202)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20labeled%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20angular%0A%20%20%20%20%20%20%20%20*%20kin_massless.two_body_phase_space(P(2)%2C%20P(3))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20kin_massless.flux(P(0)%2C%20P(1))%0A%20%20%20%20).together()%0A%20%20%20%20assert%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20labeled%20-%20alpha**2%20%2F%20s%20*%20(1%20%2B%20cos_theta**2)%20%2F%20(1%20-%20cos_theta**2)%0A%20%20%20%20).together()%20%3D%3D%20E(%220%22)%0A%20%20%20%20return%20alpha%2C%20cos_theta%2C%20cutoff%2C%20labeled%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Count%20identical%20photon%20events%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(E%2C%20Symbol%2C%20alpha%2C%20cos_theta%2C%20cutoff%2C%20labeled%2C%20s)%3A%0A%20%20%20%20%23%20The%20phase-space%20API%20excludes%20identical-particle%20factors.%20Count%20each%20event%0A%20%20%20%20%23%20once%20by%20selecting%20its%20forward%20photon%2C%20or%20equivalently%20use%201%2F2!%20on%20the%20full%20sphere.%0A%20%20%20%20try%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20primitive%20%3D%20(labeled%20*%20s%20%2F%20alpha**2).integrate(cos_theta).together()%0A%20%20%20%20except%20NotImplementedError%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20This%20WASM%20build%20omits%20the%20symbolic%20integration%20backend.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20primitive%20%3D%202%20*%20cos_theta.atanh()%20-%20cos_theta%0A%20%20%20%20assert%20(primitive.derivative(cos_theta)%20-%20labeled%20*%20s%20%2F%20alpha**2).together()%20%3D%3D%20E(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%220%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20assert%20primitive.replace(cos_theta%2C%20E(%220%22))%20%3D%3D%20E(%220%22)%0A%20%20%20%20event_cross_section%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%202%20*%20Symbol.PI%20*%20alpha**2%20%2F%20s%20*%20primitive.replace(cos_theta%2C%20cutoff)%0A%20%20%20%20).together()%0A%20%20%20%20assert%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20event_cross_section%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%202%20*%20Symbol.PI%20*%20alpha**2%20%2F%20s%20*%20(2%20*%20cutoff.atanh()%20-%20cutoff)%0A%20%20%20%20).together()%20%3D%3D%20E(%220%22)%0A%20%20%20%20return%20(event_cross_section%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Retain%20the%20electron%20mass%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(E%2C%20S%2C%20charge%2C%20cos_theta%2C%20diphoton_squared%2C%20mass%2C%20s%2C%20t%2C%20u)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Retain%20the%20electron%20mass%3A%20beta%20is%20the%20incoming%20CM%20speed%2C%200%20%3C%20beta%20%3C%201.%0A%20%20%20%20beta%20%3D%20S(%22beta%22%2C%20is_positive%3DTrue)%0A%20%20%20%20cm_squared%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20diphoton_squared.replace(t%2C%20mass**2%20-%20s%20*%20(1%20-%20beta%20*%20cos_theta)%20%2F%202)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.replace(u%2C%20mass**2%20-%20s%20*%20(1%20%2B%20beta%20*%20cos_theta)%20%2F%202)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.replace(mass%2C%20(s%20*%20(1%20-%20beta**2)%20%2F%204).sqrt())%0A%20%20%20%20).together()%0A%20%20%20%20kernel%20%3D%20(cm_squared%20%2F%20(4%20*%20charge**4)).together()%0A%20%20%20%20expected_kernel%20%3D%20(1%20%2B%20beta**2%20*%20cos_theta**2)%20%2F%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%201%20-%20beta**2%20*%20cos_theta**2%0A%20%20%20%20)%20%2B%202%20*%20beta**2%20*%20(1%20-%20beta**2)%20*%20(1%20-%20cos_theta**2)%20%2F%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%201%20-%20beta**2%20*%20cos_theta**2%0A%20%20%20%20)%20**%202%0A%20%20%20%20assert%20(kernel%20-%20expected_kernel).together()%20%3D%3D%20E(%220%22)%0A%20%20%20%20assert%20kernel.replace(beta%2C%20E(%220%22)).together()%20%3D%3D%20E(%221%22)%0A%20%20%20%20return%20beta%2C%20kernel%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Integrate%20the%20massive%20angular%20distribution%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(E%2C%20beta%2C%20cos_theta%2C%20kernel)%3A%0A%20%20%20%20expected_primitive%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(3%20-%20beta**4)%20%2F%20beta%20*%20(beta%20*%20cos_theta).atanh()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20cos_theta%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20(1%20-%20beta**2)%20**%202%20*%20cos_theta%20%2F%20(1%20-%20beta**2%20*%20cos_theta**2)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20try%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20massive_primitive%20%3D%20kernel.integrate(cos_theta).together()%0A%20%20%20%20except%20NotImplementedError%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20massive_primitive%20%3D%20expected_primitive%0A%20%20%20%20assert%20(massive_primitive.derivative(cos_theta)%20-%20kernel).together()%20%3D%3D%20E(%220%22)%0A%20%20%20%20assert%20massive_primitive.replace(cos_theta%2C%20E(%220%22)).together()%20%3D%3D%20E(%220%22)%0A%20%20%20%20assert%20(massive_primitive%20-%20expected_primitive).together()%20%3D%3D%20E(%220%22)%0A%20%20%20%20return%20(massive_primitive%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Include%20the%20incoming%20flux%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20E%2C%0A%20%20%20%20P%2C%0A%20%20%20%20Symbol%2C%0A%20%20%20%20alpha%2C%0A%20%20%20%20beta%2C%0A%20%20%20%20charge%2C%0A%20%20%20%20cos_theta%2C%0A%20%20%20%20cutoff%2C%0A%20%20%20%20event_cross_section%2C%0A%20%20%20%20kin%2C%0A%20%20%20%20mass%2C%0A%20%20%20%20massive_primitive%2C%0A%20%20%20%20s%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20%23%20The%20massive%20flux%20contributes%201%2Fbeta%3B%20the%20final%20photons%20have%20unit%20speed.%0A%20%20%20%20%23%20Select%20its%20physical%20positive%20branch%2C%20s%20%3E%200%20and%20beta%20%3E%200.%20The%20shared%0A%20%20%20%20%23%20phase-space%20measure%20excludes%20the%20identical-particle%20factor.%0A%20%20%20%20massive_flux%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20kin.flux(P(0)%2C%20P(1)).replace(mass%2C%20(s%20*%20(1%20-%20beta**2)%20%2F%204).sqrt()).expand()%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20assert%20(massive_flux**2%20-%204%20*%20s**2%20*%20beta**2).together()%20%3D%3D%20E(%220%22)%0A%20%20%20%20massive_flux%20%3D%20massive_flux.replace((s**2%20*%20beta**2).sqrt()%2C%20s%20*%20beta)%0A%20%20%20%20massive_density_factor%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(4%20*%20charge**4%20*%20kin.two_body_phase_space(P(2)%2C%20P(3))%20%2F%20massive_flux)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.replace(charge**4%2C%20(4%20*%20Symbol.PI%20*%20alpha)%20**%202)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.replace((s**2).sqrt()%2C%20s)%20%20%23%20Physical%20timelike%20branch%2C%20as%20in%20the%20flux.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.together()%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20assert%20(massive_density_factor%20-%20alpha**2%20%2F%20(s%20*%20beta)).together()%20%3D%3D%20E(%220%22)%0A%20%20%20%20massive_cross_section%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%202%0A%20%20%20%20%20%20%20%20*%20Symbol.PI%0A%20%20%20%20%20%20%20%20*%20massive_density_factor%0A%20%20%20%20%20%20%20%20*%20massive_primitive.replace(cos_theta%2C%20cutoff)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20assert%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20massive_cross_section.replace(beta%2C%20E(%221%22))%20-%20event_cross_section%0A%20%20%20%20).together()%20%3D%3D%20E(%220%22)%0A%20%20%20%20return%20(massive_cross_section%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(event_cross_section%2C%20labeled%2C%20massive_cross_section%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22**Massless%20labeled%20angular%20density**%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20labeled%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22**Massless%20event%20cross%20section%20with%20angular%20cut**%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20event_cross_section%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22**Massive%20event%20cross%20section%20with%20angular%20cut**%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20massive_cross_section%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20angular_cut%20%3D%20mo.ui.slider(0.1%2C%200.95%2C%20step%3D0.05%2C%20value%3D0.8%2C%20label%3D%22Acceptance%20C%22)%0A%20%20%20%20electron_speed%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.05%2C%201.0%2C%20step%3D0.05%2C%20value%3D1.0%2C%20label%3D%22Incoming%20speed%20beta%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.hstack(%5Bangular_cut%2C%20electron_speed%5D)%0A%20%20%20%20return%20angular_cut%2C%20electron_speed%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20E%2C%0A%20%20%20%20Symbol%2C%0A%20%20%20%20alpha%2C%0A%20%20%20%20angular_cut%2C%0A%20%20%20%20beta%2C%0A%20%20%20%20cutoff%2C%0A%20%20%20%20electron_speed%2C%0A%20%20%20%20massive_cross_section%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20s%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_ratio%20%3D%20(massive_cross_section%20*%20s%20%2F%20(2%20*%20Symbol.PI%20*%20alpha**2)).together()%0A%20%20%20%20accepted_rate%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ratio.replace(cutoff%2C%20E(str(angular_cut.value)))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.replace(beta%2C%20E(str(electron_speed.value)))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.to_float(16)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.md(rf%22Accepted%20event%20rate%3A%20**%7Baccepted_rate%7D**%20%C3%97%20%242%5Cpi%5Calpha%5E2%2Fs%24.%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Citations%0A%0A%20%20%20%20Get%20the%20citations%20for%20all%20the%20noteworthy%20algorithms%20and%20ideas%20used%20in%20this%20notebook.%20Detection%20of%20feature%20use%20is%20automatic.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(get_citations)%3A%0A%20%20%20%20get_citations()%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A